报告题目：Asymptotic estimates for an integral equation in theory of phase transition
报 告 人：雷雨田 教授 南京师范大学
报告时间：2021年6月25日 14:00-15:00
报告地点：腾讯会议 ID：575 698 993
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校内联系人：刘长春 liucc@jlu.edu.cn
报告摘要：In this talk, we study the asymptotic behavior of solutions of an
integral equation of the Allen-Cahn type in ${\mathbb{R}}^n$
\begin{equation*}
u(x)=\overrightarrow{l}
+C_{*}\int_{{\mathbb{R}}^n}\frac{u(y)(1-|u(y)|^2)|1-|u(y)|^2|^{p-2}}
{|x-y|^{n-\alpha}}dy,
\end{equation*}
when $|x| \to \infty$. Here $u:{\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}^k$ is uniformly continuous, and $k \geq 1$, $n \geq 2$, $\alpha \in (0,n)$ and $p-1>\frac{n}{n-\alpha}$. In addition, $\overrightarrow{l}\in {\mathbb{R}}^k$ is a constant vector and $C_{*}$ is a real constant. If $1-|u|^2 \in L^s({\mathbb{R}}^n)$ for some $s \in [1,\infty)$, we know that $|u| \to 1$ when $|x| \to \infty$. Furthermore, we prove that if $1-|u|^2\in L^s({\mathbb{R}}^n)$ for some $s \in [1,\frac{n}{\alpha}(p-1))$, then $u \to \overrightarrow{l}$ when $|x| \to \infty$, and hence
$|\overrightarrow{l}|=1$. When $1-|u|^2\in L^s({\mathbb{R}}^n)$ for some $s \in [1,\frac{n}{\alpha}(p-2))$, then there exists some positive
constant $C$ such that $|1-|u(x)|^2| \leq C|x|^{\alpha-n}$ for large $|x|$. Here the Harnack type estimate and the regularity lifting lemma come into play in those proofs.
报告人简介：雷雨田，南京师范大学教授，博士生指导教师。1989年考入吉林大学数学系。1999年毕业于吉林大学数学研究所，获理学博士学位。2009年8月至2010年8月到美国科罗拉多大学应用数学系访问一年。 从事Ginzburg-Landau型泛函的极小元的极限行为的研究，并以相变中的若干能量摄动模型为研究对象，研究它们的变分理论和渐近性态，同时探讨p-调和映射的各种性质， 近年从事Riesz位势， Bessel位势， Wolff位势在Lane-Emden型方程(组)中的应用。已在SIAM J. Math. Anal.，Math. Z.， J. Differential Equations， Calc. Var. Partial Differential Equations，J. Funct. Anal. 等杂志发表100多篇文章。主持和完成多项国家自然科学基金和省部级项目。
